maple untk matematika

 

PENERAPAN FUNGSI DALAM MAPLE

LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR

Oleh

Ferlia Suci Ramadhani

NIM:121810301007

JURUSAN KIMIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JEMBER

2012

 

BAB1.PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

        Tidak dapat dihindari bahwa dalam operasi matematika kita akan sering mempelajari berbagai macam fungsi-fungsi matematik. Fungsi-fungsi inilah yang nantinya digunakan dalam banyak perhitungan matematika. Tapi saat ini sering kali mahasiswa sulit mempelajari fungsi, baik itu dalam menyelesaikan perhitungannya maupun dalam penggambaran grafik suatu fungsi. Kini untuk mempelajari fungsi kita dapat menggunakan program komputer yang  ada, contohnya saja maple. Maple adalah salah satu software yang digunakan dalam pengoperasian matematika, didalamnya terdapat notasi notasi matematis pada proses perhitungan yang dijalankan. Dengan menggunakan maple kita akan lebih mudah mempelajari fungsi,baik itu secara perhitungan maupun untuk menggambarkan grafiknya.

              Oleh karena itu, penulis ingin membahas lebih dalam tentang “Penerapan fungsi dalam maple”

1.1  Rumusan Masalah

1.1.1        Bagaimana penerapan fungsi dalam maple?

1.1.2        Bagaimana cara menuliskan fungsi invers pada maple?

1.2  Tujuan

1.2.1        Mengetahui penerapan fungsi dalam maple.

1.2.2        Mengetahui cara menuliskan fungsi invers pada maple?

1.3  Manfaat

1.3.1        Agar dapat mengetahui penerapan fungsi dalam maple.

1.3.2        Agar dapat menuliskan rumus fumgi dalam maple.

BAB  2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1Pengertian fungsi

          Pengertian fungsi disini dikaitkan dengan pengertian pemetaan yang dalam analisis matematika dikenal dengan nama fungsi. Dengan demikian fungsi merupakan kejadian khusus dari suatu relasi.(Sukardji Ranuwihardjo,1986:7).

          Fungsi menurut buku lain adalah suatu persamaan dimana mempunyai dua buah variabel atau lebih yang masing masing variabel tersebut nilainya saling mempengaruhi(Suprapto kartono SE,1983:2).

       Misalnya : a. Fungsi yang mempunyai dua variabel

                                          y = f(x) dibaca y sama dengan fungsi dari x

                                          f(x,y) = 0 dibaca, fungsi x dan y sama dengan nol

                         b. Fungsi yang mempunyai lebih dari dua variabel

                             z = G(x,y) dibaca, z sama dengan fungsi dari x dan y.

                             G(x,y.z) = 0 dibaca, fungsi x,y, dan z sama dengan nol

   Dalam fungsi ini x,y, dan z adalah yang dimaksud dengan variabel, yaitu nilainya tidak tetap,tetapi berubah ubah.

   Variabel dapat dibedakan menjadi dua yakni :

1.      Variabel bebas (independent)

2.      Variabel tidak bebas (dependent)

2.2 Fungsi eksplisit

          Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi dimana antara variabel bebas dan variabel tidak bebas dapat dengan jelas dinyatakan. (Suprapto kartono SE,1983:3).

Misal :

1.      Fungsi eksplisit yang mempunyai dua buah variabel

Y = f(x), y sama dengan fungsi dari x

Kalau dirumuskan demikian maka x merupakan variabel bebas sedangkan y adalah variabel bebas. Artinya besar kecilnya nilai variabel y tergantung dari besar kecilnya nilai variabel x.

  Contoh:

  Y = f(x),dalam bentuk sederhana dapat dikemukakan sebagai berikut.

  Y= x+3         x = variabel bebas

                        Y = variabel tidak bebas.

  Kalau x = 5 maka y = 5 + 3 =8

  Kalau x = -4 maka y = -4 + 3 = -1,dan seterusnya

  Tetapi tidak boleh,

  Kalau y = 8 maka 8 = x + 5 maka x=3

  Meskipun cara ini secara aljabar dapat dibenarkan.

2.      Fungsi eksplisit yang mempunyai lebih dari dua variabel

     Z = f(x,y),z sama dengan fungsi dari x dan y maka:

     X dan y adalah vriabel bebas

     Z adalah variabel tidak bebas

     Contoh :

     Z = f(x,y) adalah z = x² + y – 2

     Kalau x = 1 dan y = 2 maka

                 Z = 1 + 2 – 2 =1,dan seterusnya

2.3 Fungsi implisit

       Fungsi impilsit adalah suatu fungsi dimana variabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat di bedakan dengan jelas. (Suprapto kartono SE,1983:4).

Misalnya :

1.      Fungsi implisit yang mempunyai dua variabel

F(x,y) = 0,fungsi x dan y sama dengan nol

Di sini antara variabel x dan variabel y tidak dapat diketahui mana variabel bebs dan mana yang variabel tidak bebas.

Contoh :

F(x,y) = 0 adalah y – x + 2 =0 maka

Kalau x = 4 sehingga y = 2,boleh juga

Kalau y =5 sehingga x = 7,dan seterusnya.

2.      Fungsi implisit yang mempunyai lebih dari dua variabel

F(x,y,z) = 0,fungsi x, y,dan z sama dengan nol.

Di sini antara variabel x, y ,dan z juga tidak dapat diketahui mana variabel bebs dan mana yang variabel tidak bebas.

Contoh :

F(x,y,z) = 0,adalah x + 2y – z + 5 = 0

Kalau x = 1, y = 2 maka z = 10 atau

Kalau x = 2, z = 3 maka y = -1,dan seterusnya

2.4 Nilai fungsi

       Kalau kita ingin mengetahui nilai dari suatu fungsi, maka kita harus menetukan terlebih dahulu nilai dari variabel bebasnya. Sebab besarnya fungsi itu tergantung dari nilai variabel bebas. (Suprapto kartono SE,1983:7).

1.1  Jenis jenis fungsi

1.Fungsi injektif

       Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

2        Fungsi surjektif

            Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3        Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

4   Fungsi konstan (fungsi tetap)
            Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnyasumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.

5   Fungsi linear
            Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa
garis lurus.

3) Fungsi kuadrat
            Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan
grafiknya berupa parabola.

6  Fungsi identitas
            Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.

7  Fungsi tangga (bertingkat)
            Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

8  Fungsi modulus
            Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

9  Fungsi ganjil dan fungsi genap
            Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.
 
10  Fungsi Polinomial
            Fungsi Polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk :
f(x) = an x n + an-1 x n-1 + ……. A2 x 2 + a1 x a0
Jika n = 1 maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus).
Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola

2.5 Fungsi invers

Jika fungsi f : A à B dinyatakan dalam pasangan terurut

f : {(a,b) | a Î A dan b Î B} maka invers dari fungsi f adalah f^-1 : B à A ditentukan oleh :

f^-1 : {(b,a) | b Î B dan a Î A}

Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi maka invers fungsi itu disebut fungsi invers.

BAB 3. METODOLOGI

3.1 Alat dan Bahan

          3.1.1 Alat

v Perangakat komputer atau dapat digantikan dengan laptop atau notebook

3.1.2 Bahan

v Software maple 8 ataupun maple 13

3.2 Cara kerja

1. Menghidupkan tombol power on pada CPU.

2. Menekan tombol on pada monitor komputer.

3. Menunggu hingga komputer siap digunakan, lalu double klik pada icon maple 8 yang ada di dekstop atau jika belum ada di layar dekstop maka dapat membuka lembar kerja maple 8 dengan cara start – All program – maple 8

BAB 4. PEMBAHASAN

4.1 Penerapan Fungsi dalam Maple

4.1.1 Mendefinisikan fungsi

                 Dalam pengoperasianya maple dapat digunakan untuk mendefinisikan sebuah fungsi. Dengan demikian bentuk operasi yang akan ditampilkan dalam maple tidaklah serumit dan sekompleks fungsi itu sendiri, dalam maple fungsi yang telah di definisikan akan terlihat lebih sederhana. Dan memudahkan dalam penulisan rumus operasi matematika lainnya.

Contoh:

              Untuk menuliskan f(x) =  x²+3x+2 pada worksheet maple,kita cukup menuliskan sebagai berikut

> f:=(x)->x^2+3*x+2;

> g:=(x)->2*x^2+4*x+3;

              Setelah didefinisikan seperti contoh diatas,maka untuk menuliskan rumus operasi matematik lainnya kita hanya perlu maenuliskan f(x) atau g(x) saja, karena fungsi itu sudah didefinisikan maka secara otomatis komputer akan membaca f(x) ataupun g(x) dengan sesuai fungsi diatas.

              Contoh operasi pengurangan dan penambahan

> f(x)+g(x);

> g(x)-f(x);

4.2  Nilai fungsi

Untuk menentukan nilai fungsi terlebih dahulu kita menentukan variabel bebasnya, setelah kita tentukan barulah kita akan mengetahui nilai fungsi tersebut.

Contoh:

> f:=(x)->x^2+3*x+2;

> g:=(x)->2*x^2+4*x+3;

> f(1);

> g(1);

Dengan mensubtitusikan nilai x maka kita dapat menentukan nilai f(x) maupun g(x). Untuk mencari faktor dari suatu fungsi kita dapat menggunakan “factor” sedangkan untuk mencari akar dari fungsi tersebut dapat digunakan “solve”.

Contoh:

> f:=(x)->x^2+3*x+2;

> factor(f(x));

          

> solve(f(x));

Untuk fungsi yang memiliki dua variabel atau lebih pendevinisian fungsi dapat dituliskan seperti berikut

Contoh: 

> s:=(x,y)->(3*x^2-5*y^3)*(2*x+4*y);

                                                            

Untuk mengetahui nilai fungsi itu sendiri,dapat disubstitusikan nilai x dan y kedalam fungsi, sebagaiman contoh dibawah ini:

Contoh:

> p:=(x,y)->(x^2+y^2+2*x+y+5);

                                                               

> p(1,1);

4.3  Fungsi Komposisi

          Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Dalam maple fungsi komposisi dapat dituliskan seperti dibawah ini.

 

Contoh:

> a:=(x)->3*x+4;       

> b:=(x)->5*x+2;       

> a(b(x));

                            

> b(a(x));  

                              

4.4  Fungsi invers

          Dalam maple kita juga bisa mencari nilai invers, mencari fungsi invers dalam maple diawali dengan mendefinisikan fungsi f(x) terlebih dahulu. Untuk menuliskan fungsi invers dapat digunakan perintah “finv”, namun terlebih dulu kita harus mencari g(x) sebagai penyelesaian dari persamaan (f o g)(x)=x.

Contoh:

Fungsi invers dari f(x) = 2x+5

Dalam maple kita tulis

> f:=(x)->2*x+5;

Tahap pertama kita mendevinisikan fungsi itu sendiri,setelah iitu kkita masukkan perintah seperti dibawah ini

> finv:=(x)->solve((f@g)(x)=x,g(x));

                   

Setelah itu kita dapat memerikan perintah “finv” ,perintah ini diberikan untuk menampilkan hasil fungsi inversnya.

> finv(x);

 

                                      BAB 4. PENUTUP

4.1 Kesimpulan

       Dari pembahasan di atas dapat diambil beberapa kesimpulan yakni:

4.1.1    Penerapan fungsi ke dalam maple meliputi:

1.      Pendevinisian fungsi pada maple

Contoh pendevinisian fungsi pada maple

Misal kita ingin menuliskan fungsi f(x) = x²+3x+2 maka perintah yang harus ditulis pada maple seperti halnya yang tercetak merah.

> f:=(x)->x^2+3*x+2;

 

2.      Nilai fungsi

Untuk nilai fungsi dapat dicari dengan memasukkan nilai variabel bebasnya

Contoh:

> f:=(x)->x^2+3*x+2;

                                             

> f(1);

                                       

Yang sangat perlu diingat adalah sebelum kita memasukkan nilai fungsi, kita harus mendevinisikan fungsinya terlebih dahulu.Untuk memfaktorkan sebuah fungsi dapat kita gunakan perintah “factor” dan untuk mencari akar dari masing masing fungsi kita dapat menggunakan perintah “solve”.

Contoh:

> factor(f(x));

                                             

> solve(f(x));

                                                

3.      Penulisan fungsi invers

Menuliskan fungsi invers dapat dimulai dengan mendevinisikan fungsi itu sendiri,kemudian dilanjutkan dengan mencari fungsi g(x) dan yang terakhir dengan memberikan perintah “finv” pada fungsi

Contoh:

> f:=(x)->2*x+5;

                                                                        

> finv:=(x)->solve((f@g)(x)=x,g(x));

                                                  

> finv(x);

                                                         

4.2      Saran

4.2.1 Jangan pernah takut untuk untuk mencoba, jika kita mengalami kegagalan disarankan untuk meminta bantuan teman ataupun asisten yang dapat membantu

DAFTAR PUSTAKA

Kartono,Suprapto.1983.Penerapan Fungsi Dalam Ekonomi.Jakarta: Universitas Indonesia.

Baisuni,hasyim.1986.kalkulus.Jakarta:Universitas Indonesia.

www.meetmath.com/001297-materi-komposisi-fungsi.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

LAMPIRAN

1.      TUGAS FUNGSI

      > restart;

> a:=(x)->sqrt(3)*x^2+exp^(x*sin(pi/4));

                                                                        

> b:=(y)->7*abs(y)+(120-60)*((y)^(1/3));

                                                                       

> c:=(x,y)->4*x^y+exp^(x+y)*(sqrt(xy));

                                                                 

> d:=(y,x)->y^(x*y)*sqrt(exp^(2*x^2+4*x));

                                                                     

2.      TUGAS INVERS

> f:=(x)->2*x+5;

                                                                       

> finv:=(x)->solve((f@g)(x)=x,g(x));

                                                       

> finv(x);