BAB
1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam matematika
kita mengenal yang namanya himpunan, himpunan adalah suatu konsep cabang ilmu
matematika. Secara intuitif, himpunan adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas
obyek obyek yang didevinisikan secara jelas. Objek objek dalam himpunan himpunan
ini dapat berupa bilangan, orang, benda mati atau apapun. Dalam konsepnya
himpunan berhubungan erat dengan mengelompokkan suatu bilangan atau suatu benda
yang sama. Dalam prakteknya,mahasiswa sering kesulitan untuk menyelesaikan
tugas tentang himpunan, sedangkan himpunan merupakan salah satu mata kuliah
dari matematika dasar yang akan dipelajari dalam semester 1 ini. Tapi dengan
berkembangnya teknologi, saat ini ada suatu program yang dapat menyelesaikan
masalah tentang himpunan yakni program maple. Maple adalah salah satu software
yang digunakan dalam pengoperasian matematika, didalamnya terdapat notasi
notasi matematis pada proses perhitungan yang dijalankan. Dengan adanya program
maple kita dapat menyelesaikan tugas tugas himpunan dengan mudah dan menyenangkan.
Oleh karena itu praktikan ingin mempelajari tentang “pengaplikasian himpunan
dalam maple”.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan
dibahas pada laporan ini adalah:
a. Apa
pengertian himpunan?
b. Bagaimana
pengaplikasian himpunan dalam maple?
1.3 Tujuan
Adapun tujuan dalam laporan ini
adalah:
a. Mengetahui
pengertian dari himpunan
b. Mengetahui
pengaplikasian himpunan dalam maple
1.4 Manfaat
Adapun manfaat dari di buatnya
laporan ini adalah:
a. Mampu
mengetahui pengertian himpunan.
b. Mampu
mengetahui pengaplikasian himpunan dalam maple
BAB
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Himpunan
Himpunan adalah suatu koleksi elemen
elemen. Elemen elemen ini dapat berupa bilangan, orang, benda mati atau apapun.
Secara khusus himpunan adalah sejumlah sesuatu yang dikelompokkan dalam suatu
cara tertentu ntuk membentuk suatu keseluruhan.
2.2 Notasi
Himpunan
himpunan akan selalu dinyatakan dengan huruf huruf besar,seperti A, B, C, D, X,
Y,.. elemen elemen dalam himpunan himpunan ini akan selalu dinyatakan dengan
huruf huruf kecil. Bila kita mendefinisikan suatu himpunan tertentu dengan
menyatakan secara jelas anggota anggotanya,misalnya A terdiri atas bilangan
bilangan 1,3,7 dan 10,maka kita menulis
A
= {1,3,7,10}
Yaitu,
elemen elemen dipisahkan oleh koma koma dan ditutup dalam tanda kurung {} kita
menyebut bentuk ini bentuk pendaftaran dari himpunan. Tetapi bila kita
mendefinisikan suatu himpunan tertentu dengan menyatakan sifat sifat yang harus
dipenuhi oleh elemen elemennya,misalnya B adalah himpunan dari semua bilangan
bilangan genap, maka kita pergunakan suatu huruf ,biasanya x, untuk menyatakan
sebarang elemen dan kita tulis.
B=
{x | x genap}
Yang
berbunyi “B adalah himpunan dari bilangan bilangan x dimana x genap”. Kita
menyebut bentuk ini bentuk pembangun-himpunan/rincian dari himpunan. Perhatikan
bahwa garis vertikal ”|” dibaca “dimana”.
2.3 Sifat Sifat Elemen Dalam
Himpunan
Sifat
sifat elemen dalam himpunan adalah:
1. Harus
terdapat pernyataan yang menyatakan apakah suatu elemen ada atau tidak ada
dalam himpunan.
2. Urutan
kemunculan elemen dalam himpunan tidak penting.
3. Elemen
elemen dalam himpunan adalah berbeda.
Dari pernyataan
diatas dapat diambil kesimpulan bahwa dua himpunan sama jika dan hanya jika
mereka mengandung elemen elemen yang sama atau identik. Jika dua himpunan sama
maka mereka mengandung elemen elemen yang sama atau identik, dan jika mereka
mengandung elemen yang identik maka dua himpunan itu sama.
Contoh: A = {2,4,6}
B = {6,4,2}
Maka dapat
disimpulkan A = B
Dua himpunan
boleh mengandung jumlah elemen sama,tetapi belum tentu sama
2.4
Korespondensi Satu Satu
Koresponden Satu-Satu adalah dua himpunan
setara yang setiap elemen himpunan pertamanya dapat dipasangkan dengan satu dan
hanya satu elemen himpunan kedua dan jika setiap elemen himpunan kedua dapat
dipasangkan dengan satu dan hanya satu elemen himpunan pertama. Jika terdapat
suatu korespondensi satu satu antara elemen kedua himpunan itu maka himpunan
himpunan itu setara.
Himpunan himpunan setara adalah himpunan
yang mengandung elemen sama banyak. Jika dua himpunan sama maka mereka setara.
Tetapi jika kebalikannya belum tentu benar karena definisi kesamaan menyatakan bahwa
elemen yang identik harus ada pada keduanya.
Contoh: A={P,Q,R}
B={merah,hijau,kuning}
Karena elemem A dan B dapat diletakkan ke
dalam suat korespondensi satu satu maka A dan B setara,tetapi A
B
Himpunan tanpa
elemen disebut himpunan nol atau himpunan kosong dan boleh ditulis A={ } atau
A=
Himpunan yang
mengandung sejumlah berhingga elemen dapat dituliskan dalam bentuk
pendaftaran,atau oleh penulisan pembentukan himpunan:
A={x
3
Penulisan diatas dibaca: himpunan A =
himpunan semua x sedemikian sehingga x bilangan asli lebih besar 3 atau lebih
kecil dari 7.suatu himpunan dikatakan mengandung tak hingga banyaknya elemen
jika ia dapat diletakkan kedalam suatu kerespondensi satu satu dengan :
A = {1,2,3,...} ,dimana
A adalah bilangan asli.
2.5 Himpunan Semesta
Dalam setiap pemakaian teori himpunan,
semua himpunan yang ditinjau adalah subhimpunan dari sebuah himpunan tertentu.
Himpunan ini kita sebut himpunan-semesta atau semesta dari uraian.Himpunan
semesta digunakan untuk menyatakan seluruh koleksi atau anggota objek yang diamati.
Kita nyatakan himpunan ini dengan U.
2.6 Himpunan kuasa
Keluarga dari sebuah subhimpunan sebuah
himpunan s dikatakan himpunan kuasa dari s dengan
Contoh
11.1 misalkan M={a,b}.maka 2m={{a,b},{a},{b},
}
Jika
sebuah himpunan S adalah terbatas,dikatakan S mempunyai n elemen maka himpunan
kuasa dari S dapat diperlihatkan mempunyai elemen elemen sebanyak 2n.
Ini adalah salah satu alasan mengapa kelas dari subhimpunan-subhimpunan S
disebut himpunan kuasa dari S dan dinyatakan dengan 2s.
2.7 Operasi dalam Himpunan
Operasi
operasi dalam himpunan meliputi perpaduan (gabungan), potongan (irisan), dan
selisih himpunan-himpunan. Berikut adalah penjelasan dari operasi operasi
tersebut.
a.
Perpaduan (gabungan)
Perpaduan
himpunan himpunan A dan B adalah himpunan dari semua elemen elemen yang
termasuk dalam A atau B atau keduannya. Kita nyatakan perpaduan A dan B dengan
A
B.
Yang biasanya dibaca “perpaduan A dan B”
Misalkan
S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g}
Maka S
T
= {a, b, c, d, f, g}
Sesuai
dengan definisi perpaduan dua buah himpunan maka S
T
= T
S
b.
Perpotongan (irisan)
Perpotongan himpunan himpunan A dan B
adalah himpunan dari elemen elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B,yaitu elemen
elemen yang termasuk A dan juga termasuk B. Kita nyatakan perpotongan A dan B
dengan A
B.
Yang biasa dibaca “A irisan B”
Misalkan
S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g}
Maka S
T
= { b, d}
Sesuai
dengan definisi perpotongan dua buah himpunan maka S
T
= T
S
c.
Selisih
Selisih himpunan himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen elemen
yang termasuk A tapi tidak termasuk B. Kita nyatakan selisih A dan B dengan A –
B. Yang dibaca “selisih A dan B” atau secara singkat “A kurang B”
Misalkan
S = {a, b, c, d} dan T = {f, b, d, g}
Maka S
T
= { a, c}
d.
Komplemen
Komplemen
dari sebuah himpunan A adalah himpunan dari elemen elemen yang tidak masuk
A,yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A
Misalkan
himpunan himpunan semesta U adalah alfabet dan T = {a, b, c}.
Maka T’ = {d, e, f, . . . , y, z}
Penggabungan
sebarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan semesta, yaitu
A
A’
= U
Selanjutya
himpunan A dan komplemennya A’ terpisah yaitu
A
A’ =
Komplemen
himpunan U adalah himpunan nol
, dan begitu juga sebaliknya yaitu
U’
=
dan
Komplemen
dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri. Secara lebih singkat (A’)’
=
BAB 3. METODOLOGI
3.1
Alat dan Bahan
3.1.1 Alat
a.
Perangkat komputer atau dapat digantikan dengan laptop atau notebook
3.1.2
Bahan
a.
Software maple 8 ataupun maple 13
3.2
Cara
kerja
a. Menghidupkan
tombol power on pada CPU.
b. Menekan
tombol on pada monitor komputer.
c. Menunggu
hingga komputer siap digunakan, lalu double klik pada icon maple 8 yang ada di
dekstop atau jika belum ada di layar dekstop maka dapat membuka lembar kerja
maple 8 dengan cara start – All program
– maple 8
BAB 4. PEMBAHASAN
4.1
Himpunan
Himpunan adalah suatu koleksi elemen
elemen. Elemen elemen ini dapat berupa bilangan, orang, benda mati atau apapun.
Secara khusus himpunan adalah sejumlah sesuatu yang dikelompokkan dalam suatu
cara tertentu ntuk membentuk suatu keseluruhan.
4.2 Pengaplikasian himpunan
4.2.1
Penulisan Himpunan
Himpunan
adalah kumpulan objek objek yang berbeda. Cara menuliskan himpunan ada 2 yakni
dengan cara mendaftar dan dengan menyatakan sifat.
Contoh:
Mendaftar
anggota himpunan
> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
Dengan
menyatakan sifat anggota himpunan
> B:=(hewan,berkaki,2);
Dalam himpunan yang
memiliki anggota sangat banyak pasti kita akan kesulitan untuk mengetahui suatu
bilangan termasuk anggota himpunan tersebut atau bukan,tetapi dalam maple kita
dapat dengan mengetahui atau mencari
anggota suatu himpunan. Jika kita ingin mencari suatu anggota dari suatu
himpunan maka menggunakan perintah member
Contoh:
> member(6 ,A);
Atau
dengan cara memberikan perintah evalb pada worksheet maple,
Contoh:
> evalb(6 in A);
Dalam maple selain kita dapat mencari anggota sebuah himpunan kita
juga bisa mencari sebuah bilangan yang telah kita ketahui letak urutannya dalam
sebuah himpunan. Misalnya saja kita akan mencari anggota himpunan nomor 2 dari
himpunan A.
> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
> A[2];
Jadi anggota himpunan A nomor
urut 2 adalah 2, penghitungan urutan himpunan pada maple bukan hanya
bisa dihitung dari depan saja,seumpama kita ingin mencari urutan anggota
himpunan A nomor 2 dari belakang, maka kita tulis
> A[-2];
Jadi urutan ke 2 dari belakang pada himpunan A adalah 9.
4.2.2 Operasi pada himpunan
Dalam himpunan juga terjadi operasi operasi matematik seperti
hal-nya pada aljabar. Operasi operasi pada himpunan ada 4 yakni:
a.
Penggabungan
b.
Irisan
c.
Komplemen
d.
Himpunan bagian
a. Penggabungan.
Penggabungan himpunan himpunan A dan B
adalah himpunan dari semua elemen elemen yang termasuk dalam A atau B atau
keduannya. Dalam maple untuk menggabungkan himpunan A dab B diberika perintah
union.
Contoh:
> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
> B:={1,3,5,7,9};
> A union B;
b.
Irisan
Perpotongan himpunan himpunan A dan B
adalah himpunan dari elemen elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B,yaitu
elemen elemen yang termasuk A dan juga termasuk B.
> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
> B:={1,3,5,7,9};
> A intersect B;
c. Komplemen
Komplemen dari sebuah
himpunan A adalah himpunan dari elemen elemen yang tidak masuk A,yaitu selisih dari
himpunan semesta U dan A. Dalam maple penulisan komplemen himpunan A dituliskan
dengan perintah S minus A.
Contoh:
> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
> B:={1,3,5,7,9};
> S:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};
> S minus A;
d.
Himpunan bagian
Himpunan
A dikatakan himpunan bagian dari B jika anggota dari himpunan A termuat dalam
himpunan B. Dalam maple penulisan himpunan bagian di tuliskan dengan perintah
subset.
Contoh:
> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
> S:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};
> A subset S;
Ini berati himpunan A memang benar himpunan bagian dari himpunan
S.
BAB 5.
PENUTUP
4.1 KESIMPULAN
Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa:
a. Himpunan
adalah suatu koleksi elemen elemen. Elemen elemen ini dapat berupa bilangan,
orang, benda mati atau apapun. Secara khusus himpunan adalah sejumlah sesuatu
yang dikelompokkan dalam suatu cara tertentu ntuk membentuk suatu keseluruhan.
b. Himpunan
adalah kumpulan objek objek yang berbeda. Cara menuliskan himpunan ada 2 yakni
dengan cara mendaftar dan dengan menyatakan sifat.
Dalam himpunan juga terjadi operasi operasi matematik seperti halnya pada
aljabar. Operasi operasi pada himpunan ada 4 yakni:
a. Penggabungan
b. Irisan
c. Komplemen
d. Himpunan bagian
4.2 SARAN
a. Untuk lebih memahami tentang himpunan dan aplikasi maple maka sebaiknya
mencari literatur lain yang menjelaskan lebih dalam tentang himpunan dan maple.
DAFTAR PUSTAKA
1. Lipschutz,Seymour.1995.SET THEORY And related topics.polytecnic
institude of brooklyn:Mc Graw-Hill,inc.
2. J.clark,Frank.1983.mathematics for data processing.Institut
teknologi bandung:reston publishing company,inc.
LAMPIRAN
TUGAS
Buktikan sifat sifat operasi
dalam himpunan!
a.
Komutatif
b.
Asosiatif
c.
Idempoten
d.
Identitas
e.
Distributif
f.
Komplementer
g.
De Morgan
> restart;
> S:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};
> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
> B:={1,3,5,7,9};
> C:={1,2,3,5,7};
Komutatif
> A union B;
> B union A;
> A intersect B = B
intersect A;
Asosiatif
> (A union B)union
C;
> A union (B union
C);
> (A intersect
B)intersect C = A intersect (B intersect C);
Idempoten
> A union A;
> A intersect A;
> A union S;
identitas
> A intersect S;
distributif
> A union (B
intersect C)= (A union B) intersect (A union C);
> A intersect (B
union C)= (A intersect B) union (A intersect C);
Komplementer
> A union (S minus
A);
> A intersect (S
minus A);
De morgan
> S minus (A union
S);
> (S minus A)
intersect (S minus S);
> S minus (A
intersect S);
> (S minus A) union
(S minus S);
